Cách Giải Nhanh Bài Toán Cực Trị Hàm Số Bậc Nhất Trên Đoạn Kín: Chi Tiết Từng Bước, Dễ Hiểu & Hiệu Quả
Trong chương trình Toán học bậc trung học phổ thông, bài toán cực trị hàm số là một trong những chuyên đề quan trọng, xuất hiện nhiều trong đề thi THPT quốc gia và các kỳ thi học sinh giỏi. Với hàm số bậc nhất được khảo sát trên đoạn kín, học sinh thường gặp khó khăn khi xác định cực trị nhanh, chính xác và tránh sai sót trong quá trình tính toán.
Bài viết này từ Gia Sư Tri Thức sẽ hướng dẫn bạn cách giải nhanh bài toán cực trị hàm số bậc nhất trên đoạn kín theo phương pháp từ cơ bản đến nâng cao, dễ áp dụng, giúp bạn tối ưu thời gian làm bài và đạt điểm tuyệt đối ở phần này.
Hàm Số Bậc Nhất Trên Đoạn Kín Là Gì?
Trước khi tìm hiểu cách giải nhanh, cần nắm rõ khái niệm hàm số bậc nhất. Hàm số bậc nhất là hàm có dạng:
f(x) = ax + b, với a ≠ 0
Khi khảo sát hàm số bậc nhất trên đoạn kín [a; b], mục tiêu là tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) khi x chạy trong đoạn [a; b].
Vì hàm số bậc nhất là một hàm tuyến tính, tức đồ thị là một đường thẳng, nên sẽ không có điểm cực trị nội tại như các hàm bậc hai hay bậc ba. Do đó, việc xét cực trị của nó trên đoạn kín trở nên đơn giản hơn nhiều. Nhưng nếu không hiểu bản chất, rất dễ xử lý thiếu chặt chẽ.
Tư Duy Nhanh: Khi Nào Hàm Số Bậc Nhất Có Cực Trị trên Đoạn Kín?
Lưu ý rằng hàm số bậc nhất là đường thẳng, nên trên đoạn kín, cực trị (max/min) chỉ xảy ra tại các điểm đầu mút của đoạn - tức là tại x = a và x = b. Bởi không có đạo hàm bằng 0 nội tại trong đoạn, nên ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b).
Tuy nhiên, còn một mẹo giải nhanh nữa: cứ nhìn hệ số a (hệ số góc của đường thẳng) là biết luôn hàm tăng hay giảm trên đoạn.
- Nếu a > 0 → hàm số đồng biến → f(b) > f(a) ⇒ Max tại x=b, Min tại x=a - Nếu a < 0 → hàm số nghịch biến → f(b) < f(a) ⇒ Max tại x=a, Min tại x=b - Nếu a = 0 → hàm số không đổi → max = min = f(x) ở mọi x trong đoạn Do đó, chỉ cần nhìn hệ số a và thay x = a hoặc x = b vào hàm số là tìm được cực trị. Phân Tích Toán Học: Vì Sao Chỉ Dễ Khi Biết Mẹo? Không hiếm trường hợp học sinh lúng túng, mất thời gian lấy đạo hàm, tìm điểm tới hạn, xét dấu đạo hàm,... Cách này đúng nhưng không nhanh, đồng thời dễ mắc sai lầm. Mà vì đạo hàm của hàm số bậc nhất là f’(x) = a và luôn khác 0 nên không có điểm xác định đạo hàm bằng 0 để xét cực trị. Nên điểm cực trị bắt buộc rơi vào đầu mút đoạn kín. Nắm được điều này rồi, bạn có thể áp dụng “công thức tư duy nhanh” như sau: 1. Nhìn nhanh hệ số a để biết hàm tăng/giảm 2. So sánh f(a) & f(b) (nếu muốn chắc ăn) 3. Tùy yêu cầu đề là tìm max hay min mà chọn đúng giá trị Mình sẽ chứng minh hiệu quả qua các ví dụ cụ thể bên dưới. Ví dụ Cơ Bản 1: Tìm Máy Mà Không Cần Ghi Hình Đề: Cho hàm số f(x) = 2x + 1 trên đoạn [-3; 5]. Tìm GTLN và GTNN của hàm số. Phân tích: f(x) = 2x + 1 là hàm bậc nhất với hệ số a = 2 > 0 ⇒ Hàm đồng biến
⇒ GTLN tại x = 5 ⇒ f(5) = 2×5 + 1 = 11
⇒ GTNN tại x = -3 ⇒ f(-3) = 2×(-3) + 1 = -5
Đáp án: GTLN = 11 tại x = 5; GTNN = -5 tại x = -3
Tổng thời gian xử lý: chưa đến 10 giây.
Ví dụ 2: Đề Khó Hơn Nhưng Vẫn Xử Lý Trong Nháy Mắt
Đề: Tìm x thuộc đoạn [-1; 2] sao cho hàm số f(x) = -3x + 2 đạt giá trị lớn nhất.
Nhận xét: f(x) = -3x + 2 với a = -3 < 0 ⇒ Hàm nghịch biến ⇒ Giá trị lớn nhất tại x = -1 ⇒ f(-1) = (-3)×(-1) + 2 = 3 + 2 = 5 Đáp án: x = -1, GTLN = 5 Lưu ý là không cần tìm đạo hàm hay biện luận dài dòng. Cách Giải Nhanh Cho Bài Toán Biện Luận Cực Trị Khi đề cho tham số và yêu cầu tìm giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một điểm cố định, nhiều học sinh gặp khó khăn vì phải cảm nhận sự thay đổi của hệ số. Cùng xem ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) = (m - 2)x + 3 trên đoạn [1; 4]. Hỏi với m thuộc tập nào thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 4? Giải: Ứng với f(x) = (m - 2)x + 3 thì hệ số của x là (m - 2) Ta xét dấu của m - 2: - Nếu m - 2 > 0 ⇒ hàm đồng biến ⇒ GTNN tại x = 1 - Nếu m - 2 < 0 ⇒ hàm nghịch biến ⇒ GTNN tại x = 4 - Nếu m - 2 = 0 ⇒ hàm hằng số ⇒ Max = Min = 3 tại mọi x Đề yêu cầu GTNN tại x = 4 ⇒ trường hợp hàm nghịch biến ⇒ m - 2 < 0 ⇒ m < 2 Đáp án: m < 2 Phương Pháp Giải Dạng Trắc Nghiệm: Tăng Tốc Gấp 3 Lần Trong đề thi trắc nghiệm, tốc độ giải bài là yếu tố sống còn. Với dạng bài cực trị hàm số bậc nhất, bạn nên: - Lập tức xác định hàm tăng hay giảm bằng cách nhìn hệ số x - Không dùng đạo hàm ⇒ không tốn thời gian vô ích - Chỉ cần tính tại 2 điểm a, b rồi so sánh → chọn đáp án đúng ngay Ví dụ 4: Hàm số f(x) = -2x + 4 có GTLN trên đoạn [-1; 3] là? Cách giải nhanh: Hệ số a = -2 < 0 ⇒ hàm nghịch biến ⇒ max tại x = -1 ⇒ f(-1) = -2×(-1) + 4 = 6 Vậy đáp án: GTLN = 6 Chỉ mất đúng 3 giây nếu nắm chắc phương pháp. Biến Thể Hay Gặp: Cho Đồ Thị Hỏi Cực Trị Đôi khi đề không cho hàm f(x) dưới dạng biểu thức mà cho hình ảnh đồ thị hoặc dữ liệu bảng. Mẹo: - Với đồ thị dạng đoạn thẳng, xác định điểm đầu/điểm cuối bằng cách nhìn chiều đi của đoạn và xác định vị trí cao nhất/thấp nhất - Với bảng giá trị, chỉ cần so sánh f(a) và f(b) - không làm gì khác Ví dụ 5: Đồ thị hàm f(x) là đoạn thẳng nối từ A(-2;1) đến B(3;6). Hỏi GTLN của f(x) trên đoạn [-2; 3]? Rõ ràng đồ thị đi từ A đến B → f(x) tăng dần theo x ⇒ hàm đồng biến ⇒ GTLN tại x = 3 ⇒ f(3) = 6 Đáp án: 6 Khi Nào Không Áp Dụng Được Phương Pháp Này? Phương pháp giải nhanh này chỉ dùng được cho hàm bậc nhất trên đoạn kín. Tiếp cận bị vô hiệu nếu: - Hàm không phải bậc nhất (ví dụ: hàm bậc hai, bậc ba) - Tập xác định không phải đoạn kín - Đề yêu cầu phân tích sâu về đạo hàm, biến thiên,... - Hàm có dạng phân thức (do mẫu số ảnh hưởng đến giới hạn, đạo hàm) Do đó, điều quan trọng là phải xác định đúng loại hàm trước khi quyết định áp dụng phương pháp giải nhanh. Các Lỗi Thường Gặp Của Học Sinh Khi Giải Dạng Này 1. Nhầm dấu hệ số a ⇒ dẫn đến việc xác định sai chiều biến thiên 2. Dùng đạo hàm không cần thiết ⇒ mất thời gian và có thể sai về lý luận 3. Nhầm điểm đầu và điểm cuối đoạn ⇒ dẫn đến kết luận sai về max/min 4. Quên thay giá trị x vào hàm ⇒ chỉ kết luận GTLN tại x=a/b mà không tìm giá trị cụ thể Bí Quyết Rèn Luyện Dạng Bài Cực Trị Hàm Bậc Nhất - Bước 1: Làm thật nhiều bài tập mẫu, tăng khả năng nhận diện nhanh - Bước 2: Học cách nhận biết chiều biến thiên qua dấu của hệ số x - Bước 3: Ghi nhớ cách làm dạng biện luận m (kèm dấu bằng/phân tích bảng biến thiên) - Bước 4: Làm đề trắc nghiệm có thời gian hạn chế để quen áp lực thời gian - Bước 5: Hỏi gia sư hoặc thầy cô những bài nặng tính phân tích để tư duy sâu hơn Tại Sao Dạng Bài Này Dễ Mà Nhiều Bạn Vẫn Sai? Bởi vì sự đơn giản của hàm số bậc nhất dễ khiến học sinh chủ quan, và từ đó sử dụng sai kỹ thuật hoặc không kiểm tra kỹ kết quả. Không ít trường hợp học sinh tính mental (nhẩm) sai do hấp tấp, bỏ qua bước thế giá trị, hoặc nhầm dấu do thiếu tỉnh táo. Chính vì vậy, hiểu bản chất và có phương pháp vừa nhanh vừa chắc tay là điều cốt lõi. Lời Kết Giải bài toán cực trị hàm số bậc nhất trên đoạn kín là một kỹ năng quan trọng, dễ ăn điểm nếu bạn nắm vững phương pháp giải nhanh. Chỉ cần quan sát hệ số x để biết hàm tăng hay giảm, từ đó xác định ngay điểm đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. Việc này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian làm bài mà còn hạn chế đáng kể những sai lầm không đáng có. Nếu bạn muốn rèn luyện chuyên sâu những kỹ năng giải cực nhanh các dạng bài Toán THPT, hoặc đang cần người hướng dẫn tận tình từng phần từ cơ bản đến nâng cao, hãy để Gia Sư Tri Thức đồng hành cùng bạn. Với đội ngũ gia sư giỏi, dạy 1 kèm 1 tại nhà tại TP.HCM và Hà Nội và online toàn quốc, chúng tôi cam kết hiệu quả học tập tối ưu cho từng học sinh. Chỉ cần bạn sẵn sàng, đội ngũ chúng tôi đã sẵn sàng hỗ trợ bạn mỗi ngày.
