Cách tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ: Hàm bậc nhất trên bậc nhất; hàm bậc hai trên bậc nhất; hàm bậc hai trên bậc hai giúp các bạn học tập một cách hiệu quả nhất.
1. Hàm bậc nhất trên bậc nhất: $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$. Ta có:
$y’ = frac{{ad - bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}$.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y = frac{{4x + 5}}{{3x - 2}}$ b) $y = frac{{7x - 2}}{{5 - 3x}}$
Lời giải
a) $y = frac{{4x + 5}}{{3x - 2}}$
$ Rightarrow y’ = frac{{4.( - 2) - 5.3}}{{{{left( {3x - 2} right)}^2}}} = frac{{ - 23}}{{{{left( {3x - 2} right)}^2}}}$
b) Biến đổi $y = frac{{7x - 2}}{{5 - 3x}} = frac{{7x - 2}}{{ - 3x + 5}}$
$ Rightarrow y’ = frac{{7.5 - ( - 2).( - 3)}}{{{{left( { - 3x + 5} right)}^2}}} = frac{{29}}{{{{left( { - 3x + 5} right)}^2}}} = frac{{29}}{{{{left( {5 - 3x} right)}^2}}}$
2. Hàm bậc hai trên bậc nhất: $y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$. Ta có:
$y’ = frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{left( {dx + e} right)}^2}}}$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y = frac{{3{x^2} + 5x - 6}}{{x - 1}}$ b) $y = frac{{ - {x^2} + 4x - 5}}{{3x - 2}}$
Lời giải
a) $y = frac{{3{x^2} + 5x - 6}}{{x - 1}}$
$y’ = frac{{3.1{x^2} + 2.3.( - 1)x + 5.( - 1) - ( - 6).1}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
$ = frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.
b) $y = frac{{ - {x^2} + 4x - 5}}{{3x - 2}}$
$y’ = frac{{ - 1.3{x^2} + 2.( - 1).( - 2)x + 4.( - 2) - ( - 5).3}}{{{{(3x - 2)}^2}}}$
$ = frac{{ - 3{x^2} + 4x + 7}}{{{{(3x - 2)}^2}}}$.
3. Hàm bậc hai trên bậc hai: $y = frac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}}$. Ta có:
$y’ = frac{{left| begin{gathered} {a_1},,{b_1} hfill {a_2},,{b_2} hfill end{gathered} right|{x^2} + 2left| begin{gathered} {a_1},,{c_1} hfill {a_2},,{c_2} hfill end{gathered} right| + left| begin{gathered} {b_1},,{c_1} hfill {b_2},,{c_2} hfill end{gathered} right|}}{{{{left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} right)}^2}}}$
Chú ý: Cột định thức $left| begin{gathered} a,,,,b hfill c,,,,d hfill end{gathered} right| = ad - bc$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y = frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 2x + 4}}$ b) $y = frac{{ - {x^2} + x + 5}}{{2{x^2} + 3x - 4}}$
Lời giải
a) $y = frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 2x + 4}}$
$y’ = frac{{left| begin{gathered} 2,,,,,,3 hfill 1,,, - 2 hfill end{gathered} right|{x^2} + 2left| begin{gathered} 2,,,, - 1 hfill 1,,,,,,,,4 hfill end{gathered} right|x + left| begin{gathered} ,,,3,,,, - 1 hfill - 2,,,,,4 hfill end{gathered} right|}}{{{{left( {{x^2} - 2x + 4} right)}^2}}}$
$ = frac{{left( {2.( - 2) - 3.1} right){x^2} + 2.left( {2.4 - ( - 1).1} right)x + 3.4 - ( - 1).( - 2)}}{{{{left( {{x^2} - 2x + 4} right)}^2}}}$
$ = frac{{ - 7{x^2} + 18x + 10}}{{{{left( {{x^2} - 2x + 4} right)}^2}}}$
b) $y = frac{{ - {x^2} + x + 5}}{{2{x^2} + 3x - 4}}$
$y’ = frac{{left| begin{gathered} - 1,,,,1 hfill ,,2,,,,3 hfill end{gathered} right|{x^2} + 2.left| begin{gathered} - 1,,,,,,,5 hfill ,,2,,,, - 4 hfill end{gathered} right|x + left| begin{gathered} 1,,,,,,,5 hfill 3,,,, - 4 hfill end{gathered} right|}}{{{{left( {2{x^2} + 3x - 4} right)}^2}}}$ $ = frac{{ - 5{x^2} - 12x - 19}}{{{{left( {2{x^2} + 3x - 4} right)}^2}}}$
