Hai đường thẳng chéo nhau: Định nghĩa, cách chứng minh và tính khoảng cách

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian là nội dung kiến thức được đề cập nhiều đến trong chương trình môn Toán lớp 11. Vậy, thế nào là hai đường thẳng chéo nhau? Làm sao để chứng minh hai đường thẳng là hai đường thẳng chéo nhau? Làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau? Để có thể trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết bài viết sau đây.

1. Thế nào là hai đường thẳng chéo nhau?

+ Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. Hay nói cách khác, hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC.

Trên hình vẽ ta có: SB và AC là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Cách chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

2.1. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

+ Để chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.

+ Giả sử hai đường thẳng d1 và d2 đồng phẳng từ đó suy ra điều không hợp lí. Từ đó ta có d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau.

2.2. Ví dụ về chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC. Chứng minh SB và AC là hai đường thẳng chéo nhau.

Giải

Giả sử SB và AC đồng phẳng.

Suy ra: S, B, A, C cùng nằm trên một mặt phẳng.

Mà A, B, C (ABC) nhưng S (ABC).

Do đó, SB và AC không đồng phẳng.

Vậy, SB và AC là hai đường thẳng chéo nhau.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

3.1. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và có liên quan đến yếu tố vuông góc

+ Phương pháp: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

• Giả sử d1 (P) mà d2 (P).
• d1 (P) = K.
• Kẻ KH d2 (H d2).
• d(d1, d2) = KH.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA là đường cao. Biết SA = 2a, AB = a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

Giải

+ Ta có: AC AB và AC SA.

Suy ra: AC (SAB).

Từ A kẻ AH SB.

Vì AC (SAB) nên AC AH (SAB).

Do đó, AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB.

+ Ta có: d(AC, SB) = AH.

+ Trong tam giác SAB vuông tại A có AH là đường cao. Ta có:

Suy ra: AH2 =

Suy ra: AH = .

Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là .

3.2. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và có liên quan đến yếu tố song song

+ Phương pháp: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

• d1 (P) và d2 (Q).
• (P) // (Q).
• Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là đoạn vuông góc chung của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và CD'.

Giải

+ Ta có: AB' (ABB'A') ; CD' (CDD'C').

Mà (ABB'A') // (CDD'C').

+ Lại có: BC (ABB'A') ; BC (CDD'C')

Do đó, d(AB', CD') = BC = a.

4. Bài tập áp dụng về hai đường thẳng chéo nhau

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. BB' và AA' là hai đường thẳng chéo nhau.
2. BB' và BC là hai đường thẳng chéo nhau.
3. BB' và AD là hai đường thẳng chéo nhau.
4. BB' và CC' là hai đường thẳng chéo nhau.

BB' và AD là hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng khác nhau nên BB' và AD là hai đường thẳng chéo nhau.

Chọn câu C

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết BA = a; BC = 4a; BB' = 3a. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. DD' và B'C' là hai đường thẳng chéo nhau chéo nhau. Ngoài ra, chúng còn vuông góc với nhau.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DD' và B'C' bằng 3a.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DD' và B'C' bằng a.
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DD' và B'C' bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C'.

+ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng DD' và B'C' chính là đi tìm độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

+ Ta có: DD' D'C' và B'C' D'C'.

Do đó, d(DD', B'C') = D'C' = BA = a.

Vậy, câu B sai.

Chọn câu B

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC.

Trong các cặp đường thẳng sau đây, cặp đường thẳng chéo nhau là:

1. SC và AC
2. SC và SB
3. SC và BC
4. SC và AB

Chọn câu D

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết BA = a; BC = 4a; BB' = 3a. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và A'B' là:

1. A, B, C đều sai

+ Ta có: A'B' (AA'D'D).

Kẻ A'H AD'.

Vì A'B' (AA'D'D) nên A'B' A'H (AA'D'D).

Do đó, A'H là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng A'B' và AD'.

+ Ta có: d(A'B', AD') = A'H.

Trong tam giác AA'D' vuông tại A có A'H là đường cao. Ta có:

Suy ra: A'H2 = .

Do đó, A'H = .

Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và A'B' là .

Chọn câu A

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết BA = a; BC = 4a; BB' = 3a. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và A'B' là:

1. a
2. 3a
3. 4a
4. A, B, C đều sai

+ Ta có: CD (CDD'C') và A'B' (AA'B'B).

+ Mà (CDD'C') // (AA'B'B).

+ Lại có: A'D' (CDD'C') và A'D' (AA'B'B).

Do đó, d(CD, A'B') = A'D' = 4a.

Chọn câu C

Như vậy, chúng ta đã đi qua khái niệm cơ bản về hai đường thẳng chéo nhau và cách chứng minh tính chéo của chúng. Chúng ta cũng đã tìm hiểu cách tính toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Hi vọng rằng bài viết đã giúp bạn có cái nhìn sâu hơn về khái niệm này và áp dụng nó vào các bài toán thực tế.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang