a) (SAB) và (SCD)
+ (SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow AB) là hình chiếu của SB lên (ABCD) ( Rightarrow angle left( {SB;left( {ABCD} right)} right) = angle left( {SB;AB} right) = angle SBA = {60^0}).
+ Xét tam giác vuông SAB: (SA = AB.tan {60^0} = asqrt 3 ).
(begin{array}{l} + ,,,left( {SAB} right) cap left( {SCD} right) = Sxparallel ABparallel CD + ,,,left( {SAB} right):,,SA bot Sx,,left( {do,,SA bot AB,,,ABparallel Sx} right) + ,,,left( {SCD} right):,,SD bot Sx,,left( {do,,CD bot AD,,,CD bot SA Rightarrow CD bot SD,,,CDparallel Sx} right) Rightarrow angle left[ {left( {SAB} right);left( {SCD} right)} right] = angle left( {SA;SD} right) = angle DSAend{array})
(tan angle DSA = dfrac{{AD}}{{AS}} = dfrac{a}{{asqrt 3 }} = dfrac{1}{{sqrt 3 }} Rightarrow angle DSA = {30^0})
b) (SCD) và (ABCD)
+ Ta có: (CD bot AD,,,CD bot SA) ( Rightarrow CD bot left( {SAD} right) Rightarrow CD bot SD).
(begin{array}{l} + ,,,left( {SCD} right) cap left( {ABCD} right) = CD + ,,,SD subset left( {SCD} right),,,SD bot CD + ,,,AD subset left( {ABCD} right),,,AD bot CD Rightarrow angle left[ {left( {SCD} right);left( {ABCD} right)} right] = widehat {left( {SD;AD} right)} = widehat {SDA} + ,,,tan angle SDA = dfrac{{SA}}{{AD}} = dfrac{{asqrt 3 }}{a} = sqrt 3 Rightarrow angle SDA = {60^0}end{array})
c) (SBC) và (SAD)
(begin{array}{l} + ,,,left( {SBC} right) cap left( {SAD} right) = Syparallel ADparallel BC + ,,,left( {SBC} right):,,SB bot Sy,,left( {do,,BC bot AB,,,BCparallel SA Rightarrow BC bot SB,,,BCparallel Sy} right) + ,,,left( {SAD} right):,,SA bot Sy,,left( {do,,SA bot AD,,,ADparallel Sy} right) Rightarrow angle left[ {left( {SBC} right);left( {SAD} right)} right] = angle left( {SB;SA} right) = angle BSA = {30^0}end{array})
d) (SBD) và (SAB)
Trong (SAC) kẻ (AK bot SO,,left( {K in SO} right)).
+ (left{ begin{array}{l}AD bot ABAD bot SAend{array} right. Rightarrow AD bot left( {SAB} right),,,left( 1 right)).
+ (left{ begin{array}{l}BD bot ACBD bot SAend{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right) Rightarrow BD bot AK).
(left{ begin{array}{l}AK bot SOAK bot BDend{array} right. Rightarrow AK bot left( {SBD} right),,,left( 2 right)).
Từ (1) và (2) ( Rightarrow angle left[ {left( {SBD} right);left( {SAB} right)} right] = angle left( {AK;AD} right)).
+ (AK bot left( {SBD} right) Rightarrow AK bot DK Rightarrow Delta ADK) vuông tại K ( Rightarrow angle left( {AK;AD} right) = angle KAD).
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAO có:
(begin{array}{l}AC = asqrt 2 Rightarrow AO = dfrac{{asqrt 2 }}{2}AK = dfrac{{SA.AO}}{{sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = dfrac{{asqrt 3 .dfrac{{asqrt 2 }}{2}}}{{sqrt {3{a^2} + dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = dfrac{{asqrt {21} }}{7}end{array}).
+ Xét tam giác vuông AHK có:
(begin{array}{l}cos angle KAD = dfrac{{AK}}{{AD}} = dfrac{{asqrt {21} }}{7}:a = dfrac{{sqrt {21} }}{7} Rightarrow angle KAD = arccos dfrac{{sqrt {21} }}{7}.end{array})
e) (SBD) và (SBC)
Trong (SBD) kẻ (AH bot SB), trong (SAC) kẻ (AK bot SO).
+ (left{ begin{array}{l}BC bot ABBC bot SAend{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right)) ( Rightarrow BC bot AH).
(left{ begin{array}{l}AH bot BCAH bot SBend{array} right. Rightarrow AH bot left( {SBC} right),,,left( 1 right)).
+ (left{ begin{array}{l}BD bot ACBD bot SAend{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right) Rightarrow BD bot AK).
(left{ begin{array}{l}AK bot SOAK bot BDend{array} right. Rightarrow AK bot left( {SBD} right),,,left( 2 right)).
Từ (1) và (2) ( Rightarrow angle left[ {left( {SBC} right);left( {SBD} right)} right] = angle left( {AH;AK} right)).
+ (AK bot left( {SBD} right) Rightarrow AK bot HK Rightarrow Delta AHK) vuông tại K ( Rightarrow angle left( {AH;AK} right) = angle HAK).
+ Xét tam giác vuông ABH có: (AH = AB.sin {60^0} = dfrac{{asqrt 3 }}{2}).
+ Xét tam giác vuông AHK có:
(begin{array}{l}cos angle HAK = dfrac{{AK}}{{AH}} = dfrac{{asqrt {21} }}{7}:dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{2sqrt 7 }}{7} Rightarrow angle HAK = arccos dfrac{{2sqrt 7 }}{7}.end{array})
