Lời giải chi tiết:
Lời giải chi tiết.
Gọi (H) là trung điểm của cạnh (AB,) do (Delta ABC) cân tại (C) nên (CH) là đường cao. Tam giác (ABD) có (AD=DB=2sqrt{3}) nên là tam giác cân tại (D.)Do đó (HD)là đường cao. Khi đó ta có
(left{ begin{align}& CHbot AB & HDbot AB end{align} right.Rightarrow ABbot left( CHD right).)
Hạ đường cao (CK)xuống (HD) khi đó (CKbot AB.) Do đó (CKbot left( ABD right).) Vậy (CK) là đường cao của tứ diện.
Ta có (HB=frac{x}{2}.) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác (HBC) ta có
(HC=sqrt{B{{C}^{2}}-H{{B}^{2}}}=sqrt{{{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}-{{left( frac{x}{2} right)}^{2}}}=frac{sqrt{48-{{x}^{2}}}}{2}.)
Tương tự ta có (HD=frac{sqrt{48-{{x}^{2}}}}{2}.)Đặt (y=KD.)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác (CHK) và (CKD) ta có
(begin{align}& ,,,,,,,C{{K}^{2}}=C{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}=C{{D}^{2}}-K{{D}^{2}}Leftrightarrow C{{H}^{2}}-{{left( HD-y right)}^{2}}={{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}-{{y}^{2}} & Leftrightarrow C{{H}^{2}}-H{{D}^{2}}+2HD.y-{{y}^{2}}=12-{{y}^{2}}Leftrightarrow 2HD.y=12Leftrightarrow y=frac{6}{HD}=frac{12}{sqrt{48-{{x}^{2}}}}. end{align})
Vì vậy (C{{K}^{2}}=C{{D}^{2}}-{{y}^{2}}=12-{{left( frac{12}{sqrt{48-{{x}^{2}}}} right)}^{2}}=frac{12left[ left( 48-{{x}^{2}} right)-12 right]}{48-{{x}^{2}}}=frac{12left( 36-{{x}^{2}} right)}{48-{{x}^{2}}}Rightarrow CK=sqrt{frac{12left( 36-{{x}^{2}} right)}{48-{{x}^{2}}}}.)
Diện tích tam giác (ABD) là ({{S}_{1}}=frac{1}{2}AB.HD=frac{1}{2}xfrac{sqrt{48-{{x}^{2}}}}{2}=frac{xsqrt{48-{{x}^{2}}}}{4}.)
Do đó thể tích tứ diện là (V=frac{1}{3}CK.{{S}_{1}}=frac{1}{3}.sqrt{frac{12left( 36-{{x}^{2}} right)}{48-{{x}^{2}}}}.frac{xsqrt{48-{{x}^{2}}}}{4}=frac{1}{6}sqrt{3}.xsqrt{36-{{x}^{2}}}.)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (left( x,sqrt{36-{{x}^{2}}} right)) ta có
(V=frac{sqrt{3}}{6}xsqrt{36-{{x}^{2}}}le frac{sqrt{3}}{6}frac{{{x}^{2}}+left( 36-{{x}^{2}} right)}{2}=3sqrt{3}.)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x=sqrt{36-{{x}^{2}}}Leftrightarrow x=sqrt{18}=3sqrt{2}.)
Chọn đáp án D.
