Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng nhất trong chương trình Giải tích lớp 12. Việc nắm vững công thức về nguyên hàm, hiểu bản chất và biết cách vận dụng đúng phương pháp sẽ giúp học sinh giải nhanh - chính xác - hạn chế sai sót trong các bài thi quan trọng. Bài viết dưới đây, Trường Việt Anh sẽ tổng hợp tất cả công thức nguyên hàm đầy đủ nhất: cơ bản, nâng cao, mở rộng, lượng giác… kèm bảng tổng hợp và các dạng bài tập thường gặp.
Lý thuyết nguyên hàm
Trước khi tìm hiểu chi tiết bảng nguyên hàm công thức, học sinh cần nắm chắc nền tảng lý thuyết bao gồm: định nghĩa nguyên hàm và các tính chất cơ bản. Đây là bước quan trọng để hiểu rõ bản chất, từ đó lựa chọn cách học công thức nguyên hàm hiệu quả, vận dụng linh hoạt theo từng dạng bài thay vì ghi nhớ một cách máy móc.
Định nghĩa nguyên hàm là gì?
Cho hàm số ( f(x) ) xác định trên khoảng K. Một hàm số ( F(x) ) được gọi là nguyên hàm của hàm số ( f(x) ) trên K nếu đạo hàm của ( F(x) ) bằng ( f(x) ) với mọi ( x in K ).
Ký hiệu công thức họ nguyên hàm:
Tập hợp tất cả họ nguyên hàm của (f(x)) sẽ có ký hiệu toán học là:
[int f(x),dx = F(x) + C]
Trong đó:
- (int) là ký hiệu phép toán nguyên hàm.
- (f(x)) là hàm dưới dấu nguyên hàm.
- C là hằng số tùy ý (hằng số tích phân).
Tính chất của nguyên hàm
Các tính chất này sẽ giúp việc tính toán nguyên hàm của tổng, hiệu hoặc tích một hàm số với hằng số trở nên đơn giản và logic hơn. Bên cạnh đó, việc nắm vững tính chất sẽ giúp học sinh vận dụng công thức nguyên hàm nhanh một cách linh hoạt, vừa đảm bảo độ chính xác, vừa rút ngắn thời gian tính toán.
Tính chất của đạo hàm và nguyên hàm:
[left( int f(x), dx right)’ = f(x)]
[int F'(x), dx = F(x) + C]
Tính chất hằng số: Nếu k là một hằng số khác 0:
[int k cdot f(x), dx = k cdot int f(x), dx]
Tính chất tổng/hiệu:
[int big[ f(x) pm g(x) big], dx = int f(x), dx ;pm; int g(x), dx]
Ví dụ:
Để tính nguyên hàm của ( f(x) = 2x^3 - 5sin x + 7 ), ta có thể tách thành tổng và hiệu của ba nguyên hàm đơn giản hơn:
(int (2x^3 - 5sin x + 7), dx= int 2x^3, dx - int 5sin x, dx + int 7, dx)
Sau đó, áp dụng thêm Tính chất hằng số (displaystyle int k cdot f(x), dx = k cdot int f(x), dx) để hoàn thành phép tính:
(= 2 int x^3, dx - 5 int sin x, dx + 7 int dx)
(= 2 cdot frac{x^4}{4} - 5 cdot (-cos x) + 7x + C)
(= frac{1}{2} x^4 + 5cos x + 7x + C)
Tổng hợp công thức nguyên hàm lớp 12
Đây chính là phần trọng tâm nhất của bài viết, bởi vì phần này sẽ tổng hợp đầy đủ tất cả các công thức tính nguyên hàm trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh dễ dàng tra cứu và ghi nhớ. Đồng thời, việc trình bày công thức một cách logic còn giúp học sinh có thể nhanh chóng củng cố kiến thức và vận dụng hiệu quả các công thức Toán 12 trong quá trình giải bài.
Bảng công thức nguyên hàm cơ bản
Công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Công thức nguyên hàm hàm hợp (dưới đây ) (int dx = x + C) (int du = u + C) (int x^{alpha} dx = frac{x^{alpha+1}}{alpha+1} + C quad (alpha ne -1)) (int u^{alpha} du = frac{u^{alpha+1}}{alpha+1} + C quad (alpha ne -1)) (int frac{dx}{x} = ln x + C) (int e^{x} dx = e^{x} + C) (int e^{u} du = e^{u} + C) (int a^{x} dx = frac{a^{x}}{ln a} + C quad (0 < a ne 1)) (int a^{u} du = frac{a^{u}}{ln a} + C quad (0 < a ne 1)) (int cos x , dx = sin x + C) (int cos u , du = sin u + C) (int sin x, dx = -cos x + C) (int sin u, du = -cos u + C) (int frac{dx}{cos^2 x} = int (1+tan^2 x),dx = tan x + C) (int frac{du}{cos^2 u} = int (1+tan^2 u),du = tan u + C) (int frac{dx}{sin^2 x} = int (1+cot^2 x),dx = -cot x + C) (int frac{du}{sin^2 u} = int (1+cot^2 u),du = -cot u + C) (int frac{dx}{2sqrt{x}} = sqrt{x} + C quad (x>0)) (int frac{du}{2sqrt{u}} = sqrt{u} + C quad (u>0)) (int cos(ax+b),dx = frac{1}{a}sin(ax+b)+C quad (ane0)) (int sin(ax+b),dx = -frac{1}{a}cos(ax+b)+C quad (ane0)) (int frac{dx}{ax+b} = frac{1}{a}ln|ax+b| + C quad (ane0)) (int e^{ax+b},dx = frac{1}{a}e^{ax+b}+C quad (ane0)) (int frac{dx}{sqrt{ax+b}} = frac{2}{a}sqrt{ax+b}+C quad (ane0))Bảng công thức nguyên hàm nâng cao
(int frac{dx}{a^2 + x^2} = frac{1}{a}arctanleft(frac{x}{a}right) + C) (int frac{dx}{a^2 - x^2} = frac{1}{2a}lnleft|frac{a + x}{a - x}right| + C) (int frac{dx}{sqrt{x^2 + a^2}} = lnleft(x + sqrt{x^2 + a^2}right) + C) (int frac{dx}{sqrt{a^2 - x^2}} = arcsinleft(frac{x}{|a|}right) + C) (int frac{dx}{xsqrt{x^2 - a^2}} = -frac{1}{a}arccosleft|frac{x}{a}right| + C) (int frac{dx}{xsqrt{x^2 + a^2}} = -frac{1}{a}lnleft|frac{a + sqrt{x^2 + a^2}}{x}right| + C) (int ln(ax+b),dx = left(x+frac{b}{a}right)ln(ax+b) - x + C) (int xsqrt{a^2 - x^2},dx = frac{xsqrt{a^2 - x^2}}{2} + frac{a^2}{2}arcsinleft(frac{x}{a}right) + C) (int frac{dx}{sin(ax+b)} = -frac{1}{a}lnleft|tanleft(frac{ax+b}{2}right)right| + C) (int e^{ax}cos(bx),dx = frac{e^{ax}left(acos bx + bsin bxright)}{a^2 + b^2} + C) (int e^{ax}sin(bx),dx = frac{e^{ax}left(asin bx - bcos bxright)}{a^2 + b^2} + C)Bảng công thức nguyên hàm mở rộng
(int (ax+b)^alpha , dx = frac{1}{a}cdotfrac{(ax+b)^{alpha+1}}{alpha+1} + C,quad alpha ne -1) (int cos(ax+b), dx = frac{1}{a}sin(ax+b) + C) (int frac{dx}{ax+b} = frac{1}{a}ln|ax+b| + C) (int sin(ax+b),dx = -frac{1}{a}cos(ax+b) + C) (int e^{ax+b},dx = frac{1}{a}e^{ax+b} + C) (int tan(ax+b),dx = -frac{1}{a}ln|cos(ax+b)| + C) (int m^{ax+b},dx = frac{1}{aln m} m^{ax+b} + C) (int cot(ax+b),dx = frac{1}{a}ln|sin(ax+b)| + C) (int frac{dx}{a^2+x^2} = frac{1}{a}arctanleft(frac{x}{a}right) + C) (int frac{dx}{sin^2(ax+b)} = -frac{1}{a}cot(ax+b) + C) (int frac{dx}{x^2-a^2} = frac{1}{2a}lnleft|frac{x-a}{x+a}right| + C) (int frac{dx}{cos^2(ax+b)} = frac{1}{a}tan(ax+b) + C) (int frac{dx}{sqrt{x^2+a^2}} = lnleft|x+sqrt{x^2+a^2}right| + C) (int arcsinleft(frac{x}{a}right) dx = xarcsinleft(frac{x}{a}right) + sqrt{a^2-x^2} + C) (int frac{dx}{sqrt{a^2-x^2}} = arcsinleft(frac{x}{|a|}right) + C) (int arccosleft(frac{x}{a}right) dx = xarccosleft(frac{x}{a}right) - sqrt{a^2-x^2} + C) (int frac{dx}{xsqrt{x^2-a^2}} = frac{1}{a}arccosleft|frac{a}{x}right| + C) (int arctanfrac{x}{a},dx = xarctanfrac{x}{a} - frac{a}{2}ln(a^2 + x^2) + C) (int frac{dx}{xsqrt{x^2 + a^2}} = -frac{1}{a}lnleft|frac{a+sqrt{x^2+a^2}}{x}right| + C) (int {arccot} frac{x}{a},dx = x {arccot} frac{x}{a} + frac{a}{2}ln(a^2 + x^2) + C) (int ln(ax+b),dx = left(x+frac{b}{a}right)ln|ax+b| - x + C) ( int frac{dx}{sin(ax+b)} = -frac{1}{a}lnleft|tanfrac{ax+b}{2}right| + C ) (int sqrt{a^2 - x^2},dx = frac{xsqrt{a^2 - x^2}}{2} + frac{a^2}{2}arcsin!left(frac{x}{|a|}right) + C) ( int frac{dx}{cos(ax+b)} = frac{1}{a}lnleft|tanleft(frac{ax+b}{2}+frac{pi}{4}right)right| + C ) (int e^{ax}sin(bx),dx = frac{e^{ax}(asin bx - bcos bx)}{a^2 + b^2} + C) (int e^{ax}cos(bx),dx = frac{e^{ax}(acos bx + bsin bx)}{a^2 + b^2} + C)Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (u= u(x)) Nguyên hàm của hàm số hợp ( (u = ax + b; a ne 0) ) ( int sin x,dx = -cos x + C ) ( int sin u,du = -cos u + C ) ( int sin(ax+b),dx = -frac{1}{a}cos(ax+b) + C ) ( int cos x,dx = sin x + C ) ( int cos u,du = sin u + C ) ( int cos(ax+b),dx = frac{1}{a}sin(ax+b) + C ) ( int tan x,dx = -ln|cos x| + C ) ( int tan u,du = -ln|cos u| + C ) ( int tan(ax+b),dx = -frac{1}{a}ln|cos(ax+b)| + C ) ( int cot x,dx = ln|sin x| + C ) ( int cot u,du = ln|sin u| + C ) ( int cot(ax+b),dx = frac{1}{a}ln|sin(ax+b)| + C ) ( int frac{1}{sin^2 x},dx = -cot x + C ) ( int frac{1}{sin^2 u},du = -cot u + C ) ( int frac{1}{sin^2(ax+b)},dx = -frac{1}{a}cot(ax+b) + C ) ( int frac{1}{cos^2 x},dx = tan x + C ) ( int frac{1}{cos^2 u},du = tan u + C ) ( int frac{1}{cos^2(ax+b)},dx = frac{1}{a}tan(ax+b) + C ) ( int frac{1}{sin x},dx = lnleft|tanfrac{x}{2}right| + C ) ( int frac{1}{sin u},du = lnleft|tanfrac{u}{2}right| + C ) ( int frac{dx}{sin(ax+b)} = -frac{1}{a}lnleft|tanfrac{ax+b}{2}right| + C ) ( int frac{1}{cos x},dx = lnleft|tanleft(frac{x}{2} + frac{pi}{4}right)right| + C ) ( int frac{1}{cos u},du = lnleft|tanleft(frac{u}{2} + frac{pi}{4}right)right| + C ) ( int frac{dx}{cos(ax+b)} = -frac{1}{a}lnleft|tanleft(frac{ax+b}{2} + frac{pi}{4}right)right| + C )>>> Xem thêm: Tổng hợp công thức toán Hình lớp 12 đầy đủ nhất
Các dạng bài toán tính nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao
Trong phần nội dung tiếp theo đây, chúng ta sẽ hệ thống lại tất cả các công thức nguyên hàm cần nhớ thông qua các dạng bài toán từ cơ bản đến nâng cao, đi kèm với hướng dẫn cách tiếp cận phù hợp theo từng dạng. Khi hiểu rõ cấu trúc của mỗi bài và nhận diện đúng điểm mấu chốt, học sinh sẽ biết vận dụng đúng cách công thức nguyên hàm trong từng trường hợp, từ đó nâng cao hiệu quả và độ chính xác khi giải đề.
Bài toán nguyên hàm cơ bản
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác cơ bản.Phương pháp: Áp dụng trực tiếp các công thức nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ: Tính ( I = int (3x^2 + e^x - sin x),dx )
Giải: ( I = int 3x^2,dx + int e^x,dx - int sin x,dx = 3cdotfrac{x^3}{3} + e^x -(-cos x) + C = x^3 + e^x + cos x + C )
Dạng 2: Nguyên hàm của các hàm phân thức đơn giản.Phương pháp: Biến đổi, chia đa thức hoặc sử dụng đồng nhất thức để tách phân thức thành các phân thức có dạng ( frac{A}{ax+b} ), sau đó áp dụng công thức ( int frac{1}{ax+b},dx = frac{1}{a}ln|ax+b| + C ).
Ví dụ: Tính ( I = int frac{2x+1}{x+2},dx ).
Giải: Ta có ( frac{2x+1}{x+2} = frac{2(x+2)-3}{x+2} = 2 - frac{3}{x+2} ).
Do đó ( I = int left(2 - frac{3}{x+2}right)dx = int 2,dx - int frac{3}{x+2},dx = 2x - 3ln|x+2| + C ).
Dạng 3: Nguyên hàm sử dụng phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ)Phương pháp: Đặt ( u = g(x) ) (thường là biểu thức bên trong hàm hợp hoặc biểu thức có đạo hàm xuất hiện trong nguyên hàm), sau đó tính vi phân ( du = g'(x),dx ) để biến đổi nguyên hàm ban đầu thành nguyên hàm theo biến (u), thường sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ: Tính ( I = int xsqrt{x^2+1},dx ).
Lời giải:
Đặt ( u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x,dx Rightarrow x,dx = frac{1}{2}du ).
Khi đó (I = int sqrt{u}cdot frac{1}{2}du = frac{1}{2}int u^{1/2}du = frac{1}{2}cdot frac{u^{3/2}}{3/2} + C = frac{1}{3}u^{3/2} + C.)
Thay (u = x^2 + 1) trở lại, ta được: ( I = frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C )
Dạng 4: Nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phầnPhương pháp: Sử dụng công thức ( int u,dv = uv - int v,du ). Lựa chọn u và dv dựa trên quy tắc ưu tiên “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” để đảm bảo ( int v,du ) dễ tính hơn ( int u,dv ).
Ví dụ: Tính ( I = int xsin x,dx ).
Lời giải:
Đặt u = x (đa thức, ưu tiên nhì), dv = sin xdx (lượng giác, ưu tiên ba).
Ta có du = dx, và ( v = int sin x,dx = -cos x. )
Áp dụng công thức:
( I = x(-cos x) - int (-cos x),dx = -xcos x + int cos x,dx = -xcos x + sin x + C. )
Bài toán áp dụng các công thức nguyên hàm nâng cao
Những dạng bài này đòi hỏi kỹ năng sâu hơn và sự kết hợp linh hoạt các phương pháp.
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm phức tạp yêu cầu sử dụng kết hợp nhiều phương pháp.Phương pháp: Phân tích cấu trúc hàm, có thể sử dụng đổi biến trước rồi tích phân từng phần, hoặc biến đổi lượng giác trước khi áp dụng các phương pháp khác.
Ví dụ: Tính (I = int frac{x}{cos^2(x^2 + 1)},dx.)
Lời giải:
Bước 1 (Đổi biến): Đặt ( u = x^2 + 1 quad Rightarrow quad du = 2x,dx quad Rightarrow quad x,dx = frac{1}{2}du.)
Khi đó (I = int frac{1}{cos^2(u)} cdot frac{1}{2},du = frac{1}{2} int frac{1}{cos^2(u)},du.)
Bước 2 (Công thức cơ bản): Ta biết (int frac{1}{cos^2 u},du = tan u + C.)
Do đó (I = frac{1}{2}tan u + C.)
Bước 3 (Thay biến): (I = frac{1}{2}tan(x^2 + 1) + C.)
Dạng 2: Nguyên hàm bất định liên quan đến các hàm lượng giác phức tạp.Phương pháp: Sử dụng thành thạo các công thức biến đổi lượng giác (hạ bậc, tích thành tổng, công thức góc nhân đôi,…) để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ: Tính (I = int sin^2 x,dx.)
Lời giải:
Sử dụng công thức hạ bậc: (sin^2 x = frac{1 - cos(2x)}{2}.)
Do đó: (I = int frac{1 - cos(2x)}{2},dx = frac{1}{2} int (1 - cos(2x)),dx = frac{1}{2}left( x - frac{sin(2x)}{2} right) + C.)
Dạng 3: Nguyên hàm liên quan đến hàm số mũ kết hợp với lượng giác.Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần hai lần để thiết lập một phương trình tuyến tính đối với nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tính (I = displaystyle int e^x sin x,dx.)
Lời giải:
Lần 1: Đặt (u = sin x Rightarrow du = cos x,dx; dv = e^x dx Rightarrow v = e^x.)
(I = e^x sin x - int e^x cos x,dx)
Lần 2 (cho nguyên hàm mới): Đặt (u’ = cos x Rightarrow du’ = -sin x,dx;) (dv’ = e^x dx Rightarrow v’ = e^x.)
(int e^x cos x,dx = e^x cos x - int e^x(-sin x),dx = e^x cos x + int e^x sin x,dx = e^x cos x + I)
Thay kết quả lần 2 vào biểu thức của I:
(I = e^x sin x - (e^x cos x + I) )
(2I = e^x(sin x - cos x) )
( I = frac{e^x(sin x - cos x)}{2} + C )
Dạng 4: Nguyên hàm liên quan đến hàm số siêu việt như lnxln xlnx, exe^xex kết hợp với hàm bậc cao.Phương pháp: Thường áp dụng tích phân từng phần lặp lại. Với ( lnx ) nhân đa thức, luôn đặt ( u = ln x )
Ví dụ: Tính (I = int xln x,dx.)
Lời giải:
Đặt ( u = ln x Rightarrow du = frac{1}{x}dx; quad dv = xdx Rightarrow v = frac{x^2}{2}.)
(I = frac{x^2}{2}ln x - int frac{x^2}{2}cdot frac{1}{x}dx = frac{x^2}{2}ln x - int frac{x}{2}dx = frac{x^2}{2}ln x - frac{x^2}{4} + C.)
Việc làm chủ bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và thành thạo các phương pháp giải nâng cao như đổi biến, tích phân từng phần là chìa khóa để học sinh lớp 12 tự tin giải quyết mọi bài toán Giải tích. Hãy xem cẩm nang này là tài liệu quan trọng và duy trì luyện tập thường xuyên để biến công thức thành phản xạ, từ đó chinh phục điểm số cao nhất trong các kỳ thi sắp tới.
Để con đường học vấn không chỉ là đạt điểm cao mà là vượt trội toàn diện, Việt Anh - Một trong các trường THPT Quốc tế tại TPHCM chuyên đào tạo học sinh giỏi chuyên Anh là lựa chọn tiên phong hàng đầu. Tại đây, chúng tôi không chỉ giúp học sinh vững vàng kiến thức học thuật (Toán, Lý, Hóa,…) mà còn tạo đột phá để các em xuất sắc tiếng Anh, mở ra cánh cửa du học và hội nhập toàn cầu.
Để được tư vấn chuyên sâu về lộ trình đào tạo học sinh giỏi, định hướng phát triển tương lai và học phí trường quốc tế mới nhất, bạn vui lòng liên hệ đến Trường Việt Anh qua những phương thức sau đây:
- Hệ thống cơ sở Việt Anh tại TP.HCM:
-
- Cơ sở Gò Vấp: 160/72 Phan Huy Ích, phường An Hội Tây, Tp.HCM.
- Cơ sở Phú Nhuận: 269A Nguyễn Trọng Tuyển, phường Phú Nhuận, Tp.HCM.
- Cơ sở Bình Tân: 951/7 Tỉnh lộ 10, phường Bình Tân, Tp.HCM.
-
- Hotline: 091 696 1409
- Zalo: 0901849306
- Website: www.truongvietanh.com
