Tất cả những ai từng đi học chắc hẳn đều đã thấy những đồ thị trên hệ tọa độ, trong đó biến y phụ thuộc vào x. Ví dụ, trường hợp đơn giản y = x:
Dễ ợt đúng không?? Giờ với cả đống lý thuyết mù mờ của mật mã học, phương trình của đường cong elliptic cũng chẳng khác là mấy! Nó có dạng y² = x³ + ax + b. a và b là gì? Chỉ là vài hằng số tùy ý (không hẳn là tùy ý… mình sẽ nói rõ hơn ở cuối). Xem nó trông như thế nào với a = 0, b = 7, giống như trong đường cong Bitcoin:
Giờ thì SỨC MẠNH THẬT SỰ CỦA ĐƯỜNG CONG NÀY LÀ KHẢ NĂNG THỰC HIỆN 3 PHÉP TOÁN QUAN TRỌNG: CỘNG/TRỪ, GẤP ĐÔI VÀ ĐẢO NGƯỢC (nhân với -1), MÀ KHÔNG THỂ THỰC HIỆN PHÉP CHIA VÀ NHÂN TRỰC TIẾP HAI ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG CONG.
Để mình giải thích với vài ví dụ:
Đường cong elliptic đối xứng qua trục X. Điều đó có nghĩa là với bất kỳ điểm nào trên đường cong A, ta có thể tìm được điểm đối xứng của nó (ĐẢO NGƯỢC), gọi là -A, bằng cách đơn giản là đảo ngược tọa độ y của nó:
Nếu ta vẽ một đường thẳng đi qua bất kỳ hai điểm nào không nằm trên một đường thẳng đứng, nó sẽ cắt đường cong tại đúng một điểm nữa! Hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm A và B, và gọi điểm thứ ba là —C. Sau đó, ta phản chiếu nó để được điểm C và điều đó xảy ra (nếu bạn tính toán đại số) rằng điểm C = A + B (CỘNG)!!
Cuối cùng, nếu ta vẽ một đường thẳng chỉ tiếp xúc với một điểm A nằm trên đường cong (tiếp tuyến), nó sẽ đi qua đường cong tại đúng một điểm khác. Và điểm này là -2A!! Mình đã biết cách tìm 2A bằng cách phản chiếu nó và thế là xong! Mình vừa thực hiện được GẤP ĐÔI ĐIỂM!!
Và đó là tất cả! Mình vừa định nghĩa 3 phép toán cơ bản định nghĩa đường cong elliptic. Nhược điểm duy nhất, hiện tại, là cần phải vẽ nó ra. Nhưng tất nhiên, có những công thức toán học để phản chiếu, cộng và gấp đôi một điểm… thôi không cần bận tâm đến những công thức nhàm chán đó vì khái niệm mới là quan trọng lúc này.
Giờ bạn sẽ nói, được rồi… và tại sao mình lại quan tâm đến điều này?? Chờ đã… đây là lúc mọi thứ trở nên thú vị. Bằng cách sử dụng sự kết hợp của 3 phép toán cơ bản này, ta có thể chọn một số tùy ý k (khóa bí mật của mình) và một điểm ngẫu nhiên trên đường cong G (được gọi là 'điểm sinh' bởi các chuyên gia mật mã) để tính toán:
K = k × G
Bạn thấy mình đang nói đến điều gì rồi chứ?? Bạn đoán đúng rồi! K là khóa công khai của mình! Giờ đây thử thách nằm ở việc giải mã k ngay cả khi bạn bằng cách nào đó đã tìm ra G là gì. Đó là nơi phép màu của đường cong elliptic thể hiện… bạn có thể cộng, nhân hoặc phản chiếu các điểm nhưng bạn không thể chia chúng cho các số. Giờ bạn có thể dùng brute force cho k = 2/3/4/5… v.v. Nhưng cách này sẽ không giúp bạn lâu dài khi lựa chọn k của mình càng ngày càng lớn hơn. Ta có thể nhân một điểm với bất kỳ số nguyên nào, nhưng không có cách nào để lấy lại số nguyên đó! Đó là ý chính! Và đó là điều làm cho đường cong elliptic rất tốt cho mật mã học. Đại số này hoạt động với các số lớn vô hạn.
Khi triển khai đường cong elliptic trong các ứng dụng thực tế như bảo mật blockchain, bạn cần hạn chế các số có thể sử dụng. Điều này cần thiết để đảm bảo tính toàn vẹn và cấu trúc của toán học được duy trì và hiệu suất không bị ảnh hưởng. Ví dụ, hãy xem xét một người dùng cực kỳ thận trọng, người có thể nghĩ đến việc sử dụng một khóa riêng có 1000 tỷ tỷ chữ số. Tất nhiên nó cực kỳ an toàn nhưng may mắn khi tính toán khóa công khai. Để mọi thứ có cấu trúc hơn một chút, các số có thể được hạn chế bằng một tập hợp các số được phép. Điều này được gọi là trường hữu hạn. Vì các nhà mật mã rất thích số nguyên tố, nên các trường hữu hạn này thường được định nghĩa trên các số nguyên tố khổng lồ. Nhưng này, đó là một chủ đề cần một bài viết riêng… mình sẽ nói thêm về điều đó trong tương lai.
Cuối cùng, một câu đố nhỏ từ một người ủng hộ Monero:
Hãy xem xét đường cong elliptic được Bitcoin sử dụng mà mình đã thảo luận ở trên: y² = x³ + 7. Các nhà mật mã gọi nó bằng cái tên hoa mỹ là Secp256k1. Đường cong này được phát minh bởi một công ty có tên Certicom (được Blackberry mua lại vào năm 2009). Giờ đây, về các lỗ hổng bảo mật, các chuyên gia gán một độ cứng nhắc cho các đường cong elliptic. Theo thuật ngữ của họ, một đường cong hoàn toàn cứng nhắc là đường cong mà quá trình tạo đường cong được giải thích hoàn toàn. Lấy ví dụ đường cong elliptic bitcoin ở trên. Tại sao lại có số 7? Tại sao không thêm dấu trừ trước y²? Nếu các nhà thiết kế của đường cong có thể giải thích đầy đủ lý do tại sao họ chọn những giá trị này, chịu sự kiểm tra của cộng đồng nghiên cứu rộng lớn hơn thì nó hoàn toàn cứng nhắc hay an toàn. Giờ đây, phần thú vị là, theo tiêu chí gán độ cứng nhắc này, đường cong bitcoin được phân loại là khá cứng nhắc. Điều đó có nghĩa là 'quá trình tạo đường cong không được giải thích hoàn toàn, nhưng những phần chưa được giải thích không cung cấp cho người tạo đường cong nhiều bit điều khiển'. Ngược lại, Monero sử dụng một đường cong elliptic khác được gọi là đường cong Twisted Edwards (được gọi chính thức là Curve25519):
Giờ thì tin tốt lành là… cộp cộp cộp… đường cong Monero hoàn toàn cứng nhắc, tức là quá trình tạo đường cong hoàn toàn mã nguồn mở.
Hết rồi nha! Mình sẽ sớm quay lại với nhiều kiến thức khoa học công dân về mật mã học hơn…
