Hằng Đẳng Thức

Các dạng bài toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 - 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

- Ta có : A = x2 - 4x + 4 = x2 - 2.x.2 + 22 = (x - 2)2

- Tại x = -1 : A = ((-1) - 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x - 1)2 + (x + 1)(3 - x)

* Lời giải.

- Ta có: A = (x - 1)2 + (x + 1)(3 - x) = x2 - 2x + 1 - x2 + 3x + 3 - x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 - 2x + 5

* Lời giải:

- Ta có : A = x2 - 2x + 5 = (x2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)2 + 4

- Vì (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x - 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

- Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi: x - 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x - x2

* Lời giải:

- Ta có : A = 4x - x2 = 4 - 4 + 4x - x2 = 4 - (4 - 4x + x2) = 4 - (x2 - 4x + 4) = 4 - (x - 2)2

- Vì (x - 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x - 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 - (x - 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi: x - 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

- Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

- Ta có: VT = (a + b)3 - (a - b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) - (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 + 3a2b - 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

- Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2 - x)(x - 4) - 2

* Lời giải:

- Ta có: B = (2 - x)(x - 4) - 2 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1

- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 - 4x + 4 - y2

* Lời giải:

- Ta có : A = x2 - 4x + 4 - y2 [để ý x2 - 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x2 - 4x + 4) - y2 [nhóm hạng tử]

= (x - 2)2 - y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 - B2]

= (x - 2 - y )( x - 2 + y)

⇒ A = (x - 2 - y )( x - 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 - 4x2 + 4x

= x(x2 - 4x + 4)

= x(x2 - 2.2x + 22)

= x(x - 2)2

Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x2 - 2xy - x + 2y

= (x2 - x) + (2y - 2xy)

= x(x - 1) - 2y(x - 1)

= (x - 1)(x - 2y)

Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 - 5x + 6

= x2 - 2x - 3x + 6

= x(x - 2) - 3(x - 2)

= (x - 2)(x - 3)

Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x - 3) - 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x2(x - 3) - 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x - 3) - 4(x - 3) = 0

⇔ (x - 3) (x2 - 4) = 0

⇔ (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0

⇔ (x - 3) = 0 hoặc (x - 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = -2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = -2