Dạng 2: Con lắc đơn dao động tuần hoàn - Năng lượng - Vận tốc - Lực căng dây

Hôm nay chúng ta tìm hiểu dạng 2 của bài con lắc đơn: Con lắc đơn dao động tuần hoàn - Năng lượng - Vận tốc - Lực căng dây. Ở bài lý thuyết chúng ta đã tìm hiểu điều kiện dao động tuần hoàn bỏ qua mọi lực cản (tức lực ma sát của không khí) nhưng trong trường hợp này, biên độ góc được kéo ra lớn hơn 100.

Dao động tuần hoàn và dao động điều hòa chỉ khác nhau biên độ góc. Khi dao động điều hòa, quỹ đạo của vật xem như đoạn thẳng bởi vì biên độ góc bé nên trên một cung tròn rất nhỏ ta xem như đoạn thẳng. Còn nếu biên độ góc lớn hơn, thì quỹ đạo là một cung tròn rõ ràng thì ta xem đó là dao động điều hòa nhưng thực ra chúng có sự đồng nhất với nhau.

Với bài học hôm nay, các em sẽ thấy được rằng, khi dao động tuần hoàn với biên độ góc nhỏ sẽ trở về giống y như dao động điều hòa.

* Năng lượng: • Động năng: Wđ = (frac{1}{2}mv^2) • Thế năng: (W_t = mgell (1-cos alpha )) • Cơ năng: W = Wđ + Wt = (frac{1}{2}mv^2 + mgell (1 - cos alpha )) (hằng số) W = Wđ max = (frac{1}{2}mv_{max}^{2}) (VTCB) (W = W_{t max } = mgell (1 - cos alpha )) (Biên)

* Vận tốc: (v^2 = 2g ell (cos alpha - cos alpha _0)) (|v|_{max} = sqrt{2g ell (1- cos alpha _0)} (VTCB)) (|v|_{min} = 0) (Biên)

* Lực căng dây: (T = mg(3cos alpha -2cos alpha _0)) (T_{max} = mg(3 -2cos alpha _0) > P) (VTCB) (T_{min} = mg cos alpha _0 < P) (Biên) Khi (alpha _0 leq 10^0) ⇒ Con lắc đơn dao động điều hòa • Biên độ: (S_0 = alpha _0.ell) • Tần số gốc: (omega = sqrt{frac{g}{ell}}) (|v|_{max} = omega S_0 = sqrt{frac{g}{ell}}.alpha _0 ell = alpha _0 sqrt{g ell}) (W = frac{1}{2}momega ^2 S_{0}^{2} = frac{1}{2}m.frac{g}{ell}.(alpha _0 ell)^2) (Rightarrow W = frac{1}{2}mgell.alpha _{0}^{2}) NHỚ: (alpha _0 leq 10^0) hay (alpha _0 ll 1 (rad)) (Rightarrow left{begin{matrix} sin alpha _0 approx alpha _0 cos alpha _0 approx 1-frac{ alpha _{0}^{2}}{2} end{matrix}right.) Lúc này: (cdot |v|_{max} = sqrt{2gell (1-cos alpha _0)} = sqrt{2gell left [ 1 - (1 - frac{alpha _{0}^{2}}{2}) right ]}) (=sqrt{2gell (1 - 1 + frac{alpha _{0}^{2}}{2})} = alpha _0 sqrt{g ell}) (cdot W = mg ell (1 - cos alpha _0) = mg ell left [ 1 - (1 - frac{alpha _{0}^{2}}{2}) right ]) (Rightarrow W = frac{1}{2}mg ell.alpha _{0}^{2}) (cdot T = mg (3cos alpha - 2 cos alpha _0) = mg left [ 3(1 - frac{alpha ^2}{2}) - 2(1 - frac{alpha _{0}^{2}}{2}) right ]) (Rightarrow T = mg (1 + alpha _{0}^{2} - frac{3}{2} alpha ^2)) (rightarrow T_{max} = mg (1 + alpha _{0}^{2}) > P) (rightarrow T_{min} = mg (1 + frac{1}{2}alpha _{0}^{2}) < P)

VD1: Một con lắc đơn có ℓ = 1 m, vật năng khối lượng 100g; dao động tại nơi có g = 10 m/s2. Từ vị trí cân bằng kéo vật lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 600 rồi buông cho vật dao động. a/ Tìm W; vmax; Tmax, Tmin? b/ Khi T = P thì |v| = ? c/ Tìm α, v, T khi Wđ = 3Wt? Giải: ℓ = 1 m; m = 100g = 0,1 kg g = 10 m/s2; α0 = 600 a/ (cdot W = mg ell (1 - cos alpha _0) = 0,1.10.1.(1 - cos 60^0) = 0,5 (J)) (cdot v_{max} = sqrt{2gell (1 - cos alpha _0)} = sqrt{2.10.1.(1-cos 60^0)} = sqrt{10} (m/s)) (cdot T_{max} = mg(3 - 2 cos alpha _0) = 0,1.10.(3 - 2 cos 60^0) = 2 N)(cdot T_{min} = mgcos alpha _0 = 0,1.10.cos 60^0 = 0,5 N) b/ (T = P Rightarrow mg(3 cos alpha - 2cos alpha _0) = mg) (Rightarrow 3cos alpha - 2cos alpha _0 = 1) (Rightarrow cos alpha = frac{1+2.cos alpha _0}{3} = frac{1+2.cos 60^0}{3} = frac{2}{3})(Rightarrow |v| = sqrt{2gell (cos alpha - cos alpha _0)} = sqrt{2.10.1.(frac{2}{3} - cos 60^0)} = sqrt{frac{10}{3}} (m/s)) c/ Wđ = 3Wt W = Wđ + Wt ⇒ Wt max = 3Wt + Wt = 4Wt (Rightarrow mgell (1 - cos alpha _0) = 4mgell (1 - cos alpha )) (Rightarrow 1 - cos alpha _0 = 4(1 - cos alpha )) (Rightarrow cos alpha = 1 - frac{1 - cos alpha _0}{4} = frac{7}{8} Rightarrow alpha = ?) (cdot |v| = sqrt{2gell (cos alpha - (cos alpha _0)} = sqrt{2.10.1.(frac{7}{8}- frac{1}{2})} = sqrt{frac{15}{2}} (m/s)) (cdot T = mg(3cos alpha - 2cos alpha _0) = 0,1.10.(3.frac{7}{8} - 2frac{1}{2}) = frac{13}{8} (N))

VD2: Một con lắc đơn dao động với phương trình (alpha = 0,1cos(5t - frac{pi}{3})) (rad). Cho g = 10 m/s2, m = 100g. a/ Tìm W, vmax, amax, Tmax, Tmin? b/ Tìm α khi Wđ = 3Wt? Giải: a/ (cdot W = frac{1}{2}mgell alpha _{0}^{2}) Ta có: (omega ^2 = frac{g}{ell} Rightarrow ell = frac{g}{omega ^2}) (Rightarrow ell = frac{10}{5^2} = 0,4 (m)) (Rightarrow W = frac{1}{2}.0,1.10.0,4.0,1^2 = 2.10^{-3} (J)) (cdot v_{max} = alpha _0. sqrt{g ell } = 0,1.sqrt{10.0,4} = 0,2 (m/s)) (cdot a_{max} = omega ^2S_0 = frac{g}{ell}. alpha _0 ell = g.alpha _0) (Rightarrow a_{max} = 10.0,1 = 1 (m/s^2)) (cdot T_{max} = mg(1 + alpha _{0}^{2}) = 0,1.10.(1 + 0,1^2) = 1,01 (N)) (cdot T_{min} = mg(1 - frac{alpha _{0}^{2}}{2}) = 0,1.10.(1 - frac{0,1^2}{2}) = 0,995 (N)) b/ W = Wđ + Wt = 3Wt + Wt = 4Wt ⇒ Wt max = 4Wt (Rightarrow frac{1}{2}mgell alpha _{0}^{2} = 4.frac{1}{2}mgell alpha ^2) (Rightarrow alpha = pm frac{alpha _0}{2} = pm frac{0,1}{2} = pm 0,05 (rad))