Dao động con lắc

Con lắc đơn là hệ thống gồm sợi dây không dãn, chiều dài ℓ {displaystyle {ce {ell }}} , khối lượng không đáng kể, với một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với quả nặng khối lượng m {displaystyle m} .

Giả sử một con lắc đơn có chiều dài ℓ {displaystyle {ce {ell }}} , dao động trong phạm vi góc rất nhỏ, và không ma sát, phương trình dao động của con lắc đơn được viết dưới dạng:

• Phương trình li độ cong: S = S 0 cos ⁡ ( ω t + φ ) {displaystyle S=S_{0}cos(omega t+varphi )}
• Phương trình li độ góc: α = α 0 cos ⁡ ( ω t + φ ) {displaystyle alpha =alpha _{0}cos(omega t+varphi )}

Trong đó:

• S {displaystyle S} là biên độ ứng với góc lệch cực đại α {displaystyle alpha } .
• S 0 {displaystyle S_{0}} là biên độ ứng với góc lệch cực đại α 0 {displaystyle alpha _{0}} .
• ω {displaystyle omega } là tần số góc của dao động, ω = g ℓ {displaystyle omega ={sqrt {frac {g}{ell }}}} .
• φ {displaystyle {ce {varphi}}} là pha ban đầu của dao động, phụ thuộc vào việc chọn mốc thời gian

Chu kỳ T {displaystyle T} và tần số f {displaystyle f} của dao động của con lắc sẽ được cho bởi:

T = 2 π ℓ g {displaystyle T=2pi {sqrt {ell over g}}} f = 1 2 π g ℓ {displaystyle f={cfrac {1}{2pi }}{sqrt {g over ell }}} (Với g là gia tốc trọng trường, g ≈ 9 , 80665 m / s 2 {displaystyle gthickapprox 9,80665m/s^{2}} ). S = ℓ × α {displaystyle S=ell times alpha } S 0 = ℓ × α 0 {displaystyle S_{0}=ell times alpha _{0}}

Khi dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của hai lực:

• Trọng lực P → {displaystyle {overrightarrow {P}}} (không đổi về hướng và độ lớn).
• Lực căng T → {displaystyle {overrightarrow {T}}} (thay đổi về cả hướng và độ lớn).

P = m g {displaystyle P=mg} T = m g ( 3 cos ⁡ α − 2 cos ⁡ α 0 ) {displaystyle T=mg(3cos alpha -2cos alpha _{0})}

Hợp lực của các lực tác dụng lên vật khi dao động đươc gọi là lực kéo về (hay lực phục hồi). Lực này luôn hướng về vị trí cân bằng.

• Lực kéo về được tính bởi công thức sau: F = − m ω 2 S {displaystyle F=-momega ^{2}S}
• Vậy lực kéo về cực đại có công thức là: F = − m ω 2 S 0 {displaystyle F=-momega ^{2}S_{0}}

v = 2 g ℓ ( cos ⁡ α − cos ⁡ α 0 ) {displaystyle v={sqrt {2gell (cos alpha -cos alpha _{0})}}}

Vì khi vật dao động, quỹ đạo là một phần của cung tròn (nhưng không phải chuyển động tròn đều) nên gia tốc được tách thành 2 thành phần đó là gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến. Mà vectơ của 2 gia tốc này luôn vuông góc nên gia tốc toàn phần xảy ra theo định lý Pythagoras.

• Gia tốc hướng tâm: a h t = v 2 ℓ {displaystyle a_{ht}={v^{2} over ell }}
• Gia tốc tiếp tuyến: a t t = g sin ⁡ α {displaystyle a_{tt}=gsin alpha }
• Gia tốc toàn phần: a = a h t 2 + a t t 2 {displaystyle a={sqrt {a_{ht}^{2}+a_{tt}^{2}}}}

Nếu bỏ qua ma sát thì con lắc dao động mãi mãi quanh vị trí cân bằng, vì cơ năng được bảo toàn.

• Động năng: W đ = 1 2 m v 2 = m g ℓ ( cos ⁡ α − cos ⁡ α 0 ) {displaystyle W_{text{đ}}={frac {1}{2}}mv^{2}=mgell (cos alpha -cos alpha _{0})}
• Thế năng: W t = m g ℓ ( 1 − cos ⁡ α ) {displaystyle W_{t}=mgell (1-cos alpha )}
• Cơ năng: W = W đ + W t = m g ℓ ( 1 − cos ⁡ α 0 ) = c o n s t {displaystyle W=W_{text{đ}}+W_{t}=mgell (1-cos alpha _{0})=const}

• Tốc độ cực đại: v m a x = ω S 0 = α 0 g ℓ {displaystyle v_{max}=omega S_{0}=alpha _{0}{sqrt {gell }}}
• Gia tốc cực đại: a m a x = ω 2 S 0 {displaystyle a_{max}=omega ^{2}S_{0}}
• Hệ thức độc lập với thời gian: S 0 = S 2 + v 2 ω 2 {displaystyle S_{0}={sqrt {S^{2}+{dfrac {v^{2}}{omega ^{2}}}}}}

Gọi T = 2 π ℓ g {displaystyle T=2pi {sqrt {ell over g}}} là chu kỳ chạy đúng của đồng hồ quả lắc.

Gọi T / {displaystyle T^{/}} là chu kỳ chạy sai. Nếu T / > T {displaystyle T^{/}>T} thì đồng hồ chạy chậm, T / < T {displaystyle T^{/}<T} thì đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 giây được tính bởi công thức:

τ = | T / − T | T / {displaystyle tau ={{|T^{/}-T|} over T^{/}}}

Khi thay đổi nhiệt độ, chiều dài của con lắc thay đổi theo biểu thức: ℓ = ℓ 0 ( 1 + α t ∘ ) {displaystyle ell =ell _{0}(1+alpha t^{circ })}

Nếu nhiệt độ tăng, đồng hồ chạy chậm. Nếu nhiệt độ giảm, đồng hồ chạy nhanh lên.

Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 s do nhiệt độ được tính bởi công thức:

τ = 1 2 α Δ t ∘ với Δ t ∘ = t 2 ∘ − t 1 ∘ {displaystyle tau ={dfrac {1}{2}}alpha Delta t^{circ }qquad qquad qquad {text{với }}Delta t^{circ }=t_{2}^{circ }-t_{1}^{circ }}

Coi đồng hồ chạy đúng, khi đặt nó ở mực nước biển

Đưa đồng hồ lên độ cao h {displaystyle h} hay đưa xuống độ sâu d {displaystyle d} so với mực nước biển thì đồng hồ đều chạy chậm.

Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 s do thay đổi độ cao (độ sâu) được tính bởi công thức:

• Đưa đồng hồ lên cao: τ = h R {displaystyle tau ={h over R}}
• Đưa đồng hồ xuống sâu: τ = d 2 R {displaystyle tau ={d over {2R}}}

Với R {displaystyle R} là bán kính Trái Đất, R ≈ 6371 k m {displaystyle Rapprox 6371 km} .

Coi đồng hồ chạy đúng, khi đặt nó ở đường xích đạo.

Giả sử nhiệt độ không đổi, nếu đưa đồng hồ ra một vị trí khác xích đạo thì đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 s do thay đổi vị trí của nó trên Trái Đất được tính bởi công thức:

τ = g − g / 2 g {displaystyle tau ={{g-g^{/}} over {2g}}}

Với g {displaystyle g} là gia tốc trọng trường tại đường xích đạo, g / {displaystyle g^{/}} là gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó trên Trái Đất.