Cho đường tròn tâm (O,) bán kính (R) và một đường thẳng (d) không cắt đường tròn

a) Vì (KA) là hai tiếp tuyến của (left( O right)) nên (AK bot OA Rightarrow angle KAO = 90^circ )

Lại có (angle OHK = 90^circ ,,left( {do,,,,OH bot d} right))

Xét tứ giác (AOKH) có (angle OAK + angle OHK = 90^circ + 90^circ = 180^circ ) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác (OAKH) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Xét (left( O right)) có (angle OBK = 90^circ ) (do (KB) là tiếp tuyến của đường tròn (left( O right)))

Từ đó ta có (angle OAK = ,angle OBK = angle OHK = 90^circ ) nên 5 điểm (A;O;B;H;K) cùng thuộc đường tròn đường kính (OK.)

( Rightarrow angle OAB = angle OHB) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (OB))

Xét (Delta IOA) và (Delta IBH) có

(angle OIA = angle BIH) (hai góc đối đỉnh)

(angle OAB = angle OHB) (cmt)

(begin{array}{l} Rightarrow Delta IOA sim Delta IBH,,left( {g - g} right) Rightarrow frac{{IO}}{{IB}} = frac{{IA}}{{IH}} Leftrightarrow IO.IH = IA.IBend{array})

Xét đường tròn đường kính (OK) có:

(angle OHB) là góc nội tiếp chắn cung (OB)

(angle OBA) là góc nội tiếp chắn cung (OA)

Mà (OA = OB = R.)

( Rightarrow angle OHB = angle OBA) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét (Delta OIB) và (Delta OBH) có

(begin{array}{l}angle BOH,,,chungangle OHB = angle OBA,,,left( {cmt} right)end{array})

(begin{array}{l} Rightarrow Delta OIB sim Delta OBHleft( {g - g} right) Rightarrow frac{{OI}}{{OB}} = frac{{OB}}{{OH}} Leftrightarrow OI = frac{{O{B^2}}}{{OH}} = frac{{{R^2}}}{{OH}}end{array})

Mà đường thẳng (d) cố định nên (OH) không đổi (vì (OH bot d)).

( Rightarrow OI = frac{{{R^2}}}{{OH}}) không đổi hay điểm (I) cố định khi (K) chạy trên đường thẳng (d) cố định.

c) Gọi (M) là giao điểm của (OK) và (AB)

Xét đường tròn (left( O right)) có (KA,KB) là hai tiếp tuyến nên (KA = KB).

Lại có (OA = OB = R) nên (OK) là đường trung trực của (AB), suy ra (AB bot OK) tại (M.)

( Rightarrow {S_{AKI}} = frac{1}{2}AI.KM.)

Theo câu b) ta có (OI = frac{{{R^2}}}{{OH}})( = frac{{{R^2}}}{{Rsqrt 3 }} = frac{R}{{sqrt 3 }})

Xét tam giác (OAK) vuông tại (A,) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

+) (O{A^2} = OM.OK Leftrightarrow OM = frac{{O{A^2}}}{{OK}} = frac{{{R^2}}}{{2R}} = frac{R}{2}.)

Suy ra (KM = OK - OM = 2R - frac{R}{2} = frac{{3R}}{2}.)

+) (A{M^2} = OM.KM = frac{R}{2}.frac{{3R}}{2} = frac{{3{R^2}}}{4} Rightarrow AM = frac{{Rsqrt 3 }}{2}.)

Xét tam giác (OMI) vuông tại (M), theo định lý Pytago ta có:

(MI = sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = sqrt {{{left( {frac{R}{{sqrt 3 }}} right)}^2} - {{left( {frac{R}{2}} right)}^2}} = frac{{Rsqrt 3 }}{6})

Suy ra (AI = AM + MI = frac{{Rsqrt 3 }}{2} + frac{{Rsqrt 3 }}{6} = frac{{2Rsqrt 3 }}{3})

( Rightarrow {S_{Delta KAI}} = frac{1}{2}KM.AI = frac{1}{2}.frac{{3R}}{2}.frac{{2Rsqrt 3 }}{3} = frac{{{R^2}sqrt 3 }}{2}) .

Vậy ({S_{Delta KAI}} = frac{{{R^2}sqrt 3 }}{2}.)