Cách tính đạo hàm căn bậc 2: Bí quyết giải quyết bài toán

Bạn đã từng tự hỏi về hàm căn bậc 2 và tầm quan trọng của nó trong môn Toán lớp 11? Làm thế nào để tính toán đạo hàm căn bậc 2? Tại sao nó lại quan trọng trong việc hiểu sâu hơn về hàm số? Hàm căn bậc 2 là một khái niệm quan trọng và thú vị mà bạn không thể bỏ qua. Cùng khám phá những câu trả lời thú vị trong bài viết này.

1. Hàm căn bậc 2

+ Hàm căn bậc hai là một hàm số có dạng y =

+ Điều kiện để hàm căn bậc hai y = xác định là: u(x) 0 với mọi số thực x

Ví dụ: Hàm y = là một hàm căn bậc hai và xác định khi 2x - 4 0 x 2

2. Công thức đạo hàm căn bậc 2

+ Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) > 0 với mọi x thuộc J thì hàm số y = có đạo hàm trên J và:

+ Chú ý: Ta có thể viết gọn công thức nêu trên thành:

3. Các dạng toán về đạo hàm căn bậc 2

3.1. Tính đạo hàm của hàm căn bậc hai cho trước

+ Cách làm: Để tính được đạo hàm của hàm căn bậc hai ta áp dụng công thức:

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = .

Giải

Ta có: y' =

3.2. Tính đạo hàm của hàm căn bậc 2 tại điểm xo cho trước

+ Cách làm:

• Tính đạo hàm của hàm căn bậc hai bởi công thức:
• Thế x = xo vào đạo hàm vừa tính được ở trên để suy ra giá trị đạo hàm của hàm căn bậc hai tại xo

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = tại xo = 4

Giải

+ Ta có: y' =

+ Ta có: y'(4) =

3.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và mối liên hệ với đạo hàm của hàm căn bậc 2

+ Lý thuyết: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xo; yo) có dạng là:

y = f'(xo).(x - xo) + yo

+ Cách làm: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xo; yo) ta làm như sau:

• Tính đạo hàm f'(x)
• Tính giá trị đạo hàm tại xo là f'(xo)
• Thế các giá trị f'(xo), xo, yo vào phương trình: y = f'(xo).(x - xo) + yo ta thu được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết hoành độ tiếp điểm là xo = 10

Giải

+ Ta có: y' =

+ Ta có: y'(xo) = y'(10) =

+ Với xo = 10 ta có:

yo = = 4

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = có dạng là:

y = y'(xo)(x - xo) + yo

Nên y = (x - 10) + 4

Hay y = x +

4. Bài tập liên quan đạo hàm căn bậc 2

Bài 1: Hàm căn bậc hai y = xác định khi:

1. x 5
2. x - 2
3. Với mọi số thực x
4. A, B, C đều sai

ĐÁP ÁN

+ Ta có: 2x2 - 4x + 10 = 2(x2 - 2x + 5) = 2[(x - 1)2 + 4] > 0 với mọi số thực x.

Vậy, hàm căn bậc hai y = xác định với mọi số thực x.

Chọn câu C

Bài 2: Hàm căn bậc hai y = có đạo hàm là:

1. y' =
2. y' =
3. y' =
4. y' =

ĐÁP ÁN

+ Ta có: y' =

Chọn câu B

Bài 3: Đạo hàm của hàm căn bậc hai y = tại điểm xo = 2 là:

1. 1
2. 2
3. 4

ĐÁP ÁN

+ Ta có: y' =

+ Đạo hàm của hàm căn bậc hai y = là:

y'(2) = = 2

Chọn câu B

Bài 4: Cho hàm căn bậc hai y = f(x) = . Số nghiệm của phương trình f(x) = f'(1) là:

1. Một nghiệm
2. Hai nghiệm
3. Vô số nghiệm
4. Vô nghiệm

ĐÁP ÁN

+ Ta có: f'(x) =

+ Ta có: f'(1) =

+ Để giải phương trình f(x) = f'(1) , chúng ta quy về việc giải phương trình:

=

x2 + 3 =

x2 = (vô lí)

Vậy, phương trình f(x) = f'(1) vô nghiệm.

Chọn câu D

Bài 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm căn bậc hai y = tại điểm có tung độ tiếp điểm yo = 1 là:

1. y = 1
2. y = 2x - 1
3. y = 2
4. y = 2x + 1

ĐÁP ÁN

+ Với yo = 1, ta đi tìm giá trị xo tương ứng.

Ta có: 1 =

1 = 2xo - xo2

xo2 - 2xo + 1 = 0

(xo - 1)2 = 0

xo - 1 = 0

xo = 1

+ Ta có: y' =

+ y'(xo) = y'(1) = = 0

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm căn bậc hai y = có dạng:

y = y'(xo)(x - xo) + yo

y = 0.(x - 1) + 1

y = 1

Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm căn bậc hai y = là y = 1

Chọn câu A

Bài 6: Cho hàm căn bậc hai y = . Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. y'(xo) có giá trị là một số hữu tỉ khi xo = 1
2. y'(xo) có giá trị là một số hữu tỉ khi xo = 2
3. y'(xo) có giá trị là một số hữu tỉ khi xo = 3
4. y'(xo) có giá trị là một số hữu tỉ khi xo = 4

ĐÁP ÁN

+ Ta có: y' =

+ Ta có: y'(2) =

Trong đó, là một số hữu tỉ. Do đó, y'(xo) có giá trị là một số hữu tỉ khi xo = 2.

+ Khi thử với xo = 1, xo = 3 và xo = 4. Kết quả thu được không phải là các số hữu tỉ.

Chọn câu B

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ được các dạng của hàm căn bậc 2 và biết cách tìm đạo hàm căn bậc 2. Đồng thời vận dụng để xử lí nhanh các dạng bài tập liên quan đến hàm căn bậc 2.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang