Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi Toán lớp 9 cũng như tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm vững dạng Toán này, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên, kèm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Tài liệu này sẽ giúp các em làm quen với các dạng bài tập tìm x, từ đó nâng cao kỹ năng giải bài để chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Dưới đây là nội dung chi tiết, mời các em cùng tham khảo nhé.

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

1. Dạng 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng (A = frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và g(x) ≠ 0.

+ Cách làm:

- Bước 1: Tách về dạng (A = mleft( x right) + frac{k}{{gleft( x right)}}) trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

- Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì (frac{k}{{gleft( x right)}})nguyên hay (k vdots gleft( x right)) nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k.

- Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x.

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán.

2. Dạng 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Đây là một dạng nâng cao hơn của dạng bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng (A = mleft( x right) + frac{k}{{gleft( x right)}}). Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.

- Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.

- Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x.

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.

II. Bài tập tìm x nguyên để p nguyên

Hướng dẫn giải

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a,(frac{2}{{x - 1}}) có điều kiện x ≠ 1

Để (frac{2}{{x - 1}}) nhận giá trị nguyên thì (2 vdots left( {x - 1} right))⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta có bảng:

x - 1 -2 -1 1 2 x -1 (thỏa mãn) 0 (thỏa mãn) 2 (thỏa mãn) 3 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức (frac{2}{{x - 1}}) nhận giá trị nguyên

b, (frac{{x - 2}}{{x - 1}})có điều kiện x ≠ 1

Ta có: (frac{{x - 2}}{{x - 1}} = frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = frac{{x - 1}}{{x - 1}} - frac{1}{{x - 1}} = 1 - frac{1}{{x - 1}})

Để (frac{{x - 2}}{{x - 1}}) nhận giá trị nguyên thì (1 vdots left( {x - 1} right))⇔ x - 1 ∈ Ư(1) = {± 1}

Ta có bảng:

x - 1 -1 1 x 0 (thỏa mãn) 2

Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức (frac{{x - 2}}{{x - 1}}) nhận giá trị nguyên

c, (frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}})có điều kiện là x ≥ 0

(frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}} = frac{{3left( {sqrt x + 1} right) - 3}}{{sqrt x + 1}} = frac{{3left( {sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x + 1}} - frac{3}{{sqrt x + 1}} = 3 - frac{3}{{sqrt x + 1}})

Để (frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}}) nhận giá trị nguyên thì (3 vdots left( {sqrt x + 1} right) Leftrightarrow sqrt x + 1 in Uleft( 3 right) = left{ { pm 1; pm 3} right})

Ta có bảng:

(sqrt x + 1) -3 -1 1 3 (sqrt x) -4 (loại) -2 (loại) 0 2 x 0 (thỏa mãn) 4 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức (frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}}) nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}}) có điều kiện là x ≥ 0

Có (x ge 0 Rightarrow left{ begin{array}{l} 2sqrt x ge 0 x + 3 ge 3 > 0 end{array} right.). Suy ra ta có (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} ge 0forall x ge 0) (1)

Lại có (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} = frac{2}{{sqrt x + dfrac{3}{{sqrt x }}}})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (x ge 0) có (sqrt x + frac{3}{{sqrt x }} ge 2.sqrt {sqrt x .frac{3}{{sqrt x }}} = 2sqrt 3)

(Rightarrow frac{2}{{sqrt x + frac{3}{{sqrt x }}}} le frac{2}{{2sqrt 3 }} = frac{{sqrt 3 }}{3})(2)

Từ (1) và (2) ta có:(0 le frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} le frac{{sqrt 3 }}{3}) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} = 0)

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, (frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}})có điều kiện là x ≥ 0

Có (x ge 0 Rightarrow left{ begin{array}{l} 2sqrt x ge 0 x + sqrt x + 1 ge 0 end{array} right.forall x ge 0)(1)

Lại có (frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} = frac{2}{{sqrt x + 1 + frac{1}{{sqrt x }}}})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (x ge 0) có

(sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} ge 2 Rightarrow sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} + 1 ge 3 Rightarrow frac{2}{{sqrt x + 1 + frac{1}{{sqrt x }}}} le frac{2}{3})(2)

Từ (1) va (2) ta có (0 le frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} le frac{2}{3}) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} = 0). Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: (A = frac{{sqrt x + 8}}{{sqrt x + 3}})

b) Ta có:

(M = A.B = frac{{sqrt x + 8}}{{sqrt x + 3}}.frac{7}{{sqrt x + 8}} = frac{7}{{sqrt x + 3}} Rightarrow 0 < M leqslant frac{7}{3})

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

(frac{7}{{sqrt x + 3}} = 1 Rightarrow sqrt x + 3 = 7 Rightarrow x = 16left( {tm} right))

Với M = 2 ta có:

(frac{7}{{sqrt x + 3}} = 2 Rightarrow sqrt x + 3 = frac{7}{2} Rightarrow x = frac{1}{4}left( {tm} right))

Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Hướng dẫn giải

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: (A = frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}})

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với (x > 0,x ne 1) ta có: (x + sqrt x + 1 > sqrt x + 1 > 1)

Vậy 0 < A (= frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} < frac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x + 1}} = 1 + frac{1}{{sqrt x + 1}} < 2)

Vì A nguyên nên A = 1 (Leftrightarrow frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} = 1) => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

Ta có: (A = frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} Leftrightarrow Ax + left( {A - 1} right)sqrt x + A - 2 = 0)

Trường hợp 1: Nếu A = 0 (sqrt x = - 2 Rightarrow x in emptyset)

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

(begin{matrix} Rightarrow Delta = {left( {A - 1} right)^2} - 4Aleft( {A - 2} right) = - 3{A^2} + 6A + 1 geqslant 0 hfill Leftrightarrow {A^2} - 2A - dfrac{1}{3} leqslant 0 Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 leqslant dfrac{4}{3} Leftrightarrow {left( {A - 1} right)^2} leqslant dfrac{4}{3} hfill Rightarrow A in left{ {1;2} right} hfill A in mathbb{Z},A > 0 hfill end{matrix})

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 (Rightarrow frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} = 2) => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

ĐK: (xgeq 0;x neq frac{1}{4};x neq 1)

Thực hiện biến đổi biểu thức như sau:

A = 1 - (left( frac{2}{2sqrt{x} + 1} - frac{5sqrt{x}}{left( 2sqrt{x} + 1 right)(2sqrt{x} - 1)} + frac{1}{2sqrt{x} - 1} right):frac{sqrt{x} - 1}{left( 2sqrt{x} + 1 right)^{2}})

A = 1 - (frac{4sqrt{x} - 2 - 5sqrt{x} + 2sqrt{x} + 1}{(2sqrt{x} + 1)(2sqrt{x} - 1)}.frac{(2sqrt{x} + 1)^{2}}{sqrt{x} - 1})

A = 1 - (frac{sqrt{x} - 1}{2sqrt{x} - 1}.frac{2sqrt{x} + 1}{sqrt{x} - 1} = 1 - frac{2sqrt{x} + 1}{2sqrt{x} - 1} = frac{2}{1 - 2sqrt{x}})

b. Để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì (frac{2}{1 - 2sqrt{x}}) nguyên

Do (frac{2}{1 -2sqrt{x}}in Z) nên (1 - 2sqrt{x}) là số hữu tỉ.

Suy ra x là số chính phương, do đó (1 - 2sqrt{x} in)Z =>(1 - 2sqrt{x} in)Ư(2)

Do (x geq 0;x neq 1;x in Z) và (1 - 2sqrt{x} in)Ư(2) => x = 0

Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để P có nghĩa: (left{ begin{matrix} x geq 0 sqrt{x} neq 2 x neq 9 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} x geq 0 x neq 4 x neq 9 end{matrix} right.).

Ta có: (P = dfrac{dfrac{(x - 9) + (4 - x)}{(2 - sqrt{x})(sqrt{x} + 3)} - dfrac{9 - x}{(sqrt{x} - 2)(sqrt{x} + 3)}}{dfrac{sqrt{x}(sqrt{x} - 3)}{(sqrt{x} - 3)(sqrt{x} + 3)}})

(Leftrightarrow P = frac{(x - 9) + (4 - x) + (9 - x)}{(2 - sqrt{x})(sqrt{x} + 3)}.frac{sqrt{x} + 3}{sqrt{x}})

(Leftrightarrow P = frac{4 - x}{(2 - sqrt{x})sqrt{x}} = frac{2 + sqrt{x}}{sqrt{x}})

b) Theo câu a ta có: (P = frac{2 + sqrt{x}}{sqrt{x}} = 1 + frac{2}{sqrt{x}}).

Do đó để P nguyên thì ta cần (frac{2}{sqrt{x}})nguyên

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} sqrt{x} = 1 sqrt{x} = 2(L) end{matrix} right.)⇔ x = 1.

Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (3x + 2sqrt{3x} + 4 = left( sqrt{3x} + 1 right)^{2} + 3 > 0; 1 + sqrt{3x} > 0, forall x geq 0)

Nên điều kiện để A có nghĩa là

(left( sqrt{3x} right)^{3} - 8 = left( sqrt{3x} - 2 right)left( 3x + 2sqrt{3x} + 4 right) neq 0,x geq 0)

(Leftrightarrow sqrt{3x} neq 2 Leftrightarrow 0 leq x neq frac{4}{3})

Thực hiện biến đổi biểu thức A như sau:

(A = left( frac{6x + 4}{left( sqrt{3x} right)^{3} - 2^{3}} - frac{sqrt{3x}}{3x + 2sqrt{3x} + 4} right)left( frac{1 + left( sqrt{3x} right)^{3}}{1 + sqrt{3x}} - sqrt{3x} right))

(A = left( frac{6x + 4 - left( sqrt{3x} - 2 right)sqrt{3x}}{left( sqrt{3x} - 2 right)left( 3x + 2sqrt{3x} + 4 right)} right)left( 3x - sqrt{3x} + 1 - sqrt{3x}right))

(A = left( frac{3x + 4 + 2sqrt{3x}}{left( sqrt{3x} - 2 right)left( 3x + 2sqrt{3x} + 4 right)} right)left( 3x - 2sqrt{3x} + 1 right))

(A = frac{left( sqrt{3x} - 1 right)^{2}}{sqrt{3x} - 2}) ((0 leq x neq frac{4}{3}))

(A = frac{left( sqrt{3x} - 1 right)^{2}}{sqrt{3x} - 2} = frac{left( sqrt{3x} - 2 right)^{2} + 2left( sqrt{3x} - 2 right) + 1}{sqrt{3x} - 2})

(A = sqrt{3x} + frac{1}{sqrt{3x} - 2})

b) Với (x) là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì

(sqrt{3x} - 2 = pm 1)

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} sqrt{3x} = 3 sqrt{3x} = 1 end{matrix} right. Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} 3x = 9 3x = 1 end{matrix} right. Leftrightarrow x = 3) (Vì (x in mathbb{Z}) và (x geq 0)).

Khi đó: (A = 4).

III. Bài tập tự luyện tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Cho biểu thức: P = (left( frac{1}{sqrt{x} - 2} - frac{1}{sqrt{x} + 2} right).left( frac{sqrt{4x} - 4}{4} right)^{2})

a) Tìm điều kiện xác định của P

b) Rút gọn P.

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?

Bài 2. Cho biểu thức: (A = 1 - (frac{2}{1 + 2sqrt{x}} - frac{5sqrt{x}}{4x - 1} - frac{1}{1 - 2sqrt{x}}):frac{sqrt{x} - 1}{4x + 4sqrt{x} + 1})

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên;

c) Tính giá trị của A với (x = - 7sqrt[3]{49(5 + 4sqrt{2})(3 + 2sqrt{1 + 2sqrt{2}})(3 - 2sqrt{1 + 2sqrt{2}})}).

Bài 3. Cho biểu thức: (A = frac{2sqrt{a} - 9}{a - 5sqrt{a} + 6} - frac{sqrt{a} + 3}{sqrt{a} - 2} - frac{2sqrt{a} + 1}{3 - sqrt{a}})

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm giá trị của a để A < 1.

b. Tìm giá trị của a để A nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức: (Q = frac{2x + 2}{sqrt{x}} + frac{xsqrt{x} - 1}{x - sqrt{x}} - frac{x^{2} + sqrt{x}}{xsqrt{x} + x}) với (x > 0,x neq 1).

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm (x) để biểu thức (frac{7}{Q}) chỉ nhận một giá trị nguyên?

Bài 5: Cho biểu thức: (H = frac{2sqrt{x}}{3 + sqrt{x}}) và (K = left( frac{15 - sqrt{x}}{x - 25} + frac{2}{sqrt{x} + 5} right):frac{sqrt{x} + 3}{sqrt{x} - 5}) với (x geq 0,x neq 25).

a) Rút gọn biểu thức K.

b) Tìm (x) để biểu thức (A = H + K) nhận giá trị nguyên?

Bài 6: Cho các biểu thức: (A = frac{sqrt{x} + 3}{sqrt{x} - 2}) và (B = frac{sqrt{x} + 2}{sqrt{x} - 2} - frac{sqrt{x} - 2}{sqrt{x} + 2} - frac{4x}{4 - x}) với (x geq 0,x neq 4).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm (x) để biểu thức (H = frac{B}{A}) nhận giá trị nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức: (C = frac{2sqrt{x}}{sqrt{x} + 3} + frac{1}{sqrt{x} - 3} + frac{2x - 3sqrt{x} + 9}{9 - x}) với (x geq 0,x neq 9).

a) Thu gọn biểu thức C.

b) Tìm (xmathbb{in Z}) để biểu thức (Cmathbb{in Z}).

Bài 8: Cho biểu thức: (D = frac{3x + sqrt{9x} - 3}{x + sqrt{x} - 2} - frac{sqrt{x} + 1}{sqrt{x} + 2} + frac{sqrt{x} - 2}{1 - sqrt{x}}).

a) Rút gọn biểu thức D.

b) Tìm (xmathbb{in Z}) để biểu thức (frac{1}{D}) nhận giá trị nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức: (M = frac{4sqrt{x} + 7}{x - 1}) và (N = frac{x + 2}{x + sqrt{x} - 2} - frac{sqrt{x}}{sqrt{x} + 2}) với (x geq 0,x neq 1)

a) Rút gọn biểu thức (T = frac{M}{N}).

b) Tìm (xmathbb{in R}) để biểu thức T nhận giá trị nguyên dương.

IV. Đáp án bài tập tự luyện tìm x nguyên để biểu thức đã cho nguyên

Bài 1.

Điều kiện xác định: (left{ begin{matrix} sqrt{x} - 2 neq 0 x geq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} x neq 4 x geq 0 end{matrix} right.)

(P = left( frac{1}{sqrt{x} - 2} - frac{1}{sqrt{x} + 2} right).left( frac{sqrt{4x} - 4}{4} right)^{2} = frac{sqrt{x} + 2 - sqrt{x} + 2}{left( sqrt{x} - 2 right)left( sqrt{x} + 2 right)} cdot left( frac{2sqrt{x} - 4}{4} right)^{2})

(P = frac{4}{left( sqrt{x} - 2 right)left( sqrt{x} + 2 right)} cdot frac{left( sqrt{x} - 2 right)^{2}}{4})

(P = frac{sqrt{x} - 2}{sqrt{x} + 2})

(P = 1 - frac{4}{sqrt{x} + 2})nguyên khi (sqrt{x} + 2 in U(4) = left{ pm 1; pm 2; pm 4 right})

Tìm được x = 1; 4

Bài tập 2.

ĐK: x(geq 0;x neq frac{1}{4};x neq 1)

A = 1 - (left( frac{2}{2sqrt{x} + 1} - frac{5sqrt{x}}{left( 2sqrt{x} + 1 right)(2sqrt{x} - 1)} + frac{1}{2sqrt{x} - 1} right):frac{sqrt{x} - 1}{left( 2sqrt{x} + 1 right)^{2}})

A = 1 - (frac{4sqrt{x} - 2 - 5sqrt{x} + 2sqrt{x} + 1}{(2sqrt{x} + 1)(2sqrt{x} - 1)}.frac{(2sqrt{x} + 1)^{2}}{sqrt{x} - 1})

A = 1 - (frac{sqrt{x} - 1}{2sqrt{x} - 1}.frac{2sqrt{x} + 1}{sqrt{x} - 1} = 1 - frac{2sqrt{x} + 1}{2sqrt{x} - 1} = frac{2}{1 - 2sqrt{x}})

(A in Z Leftrightarrow frac{2}{1 - 2sqrt{x}} in Z)

Do (frac{2}{1 - 2sqrt{x}} in Z) nên (1 - 2sqrt{x}) là số hữu tỉ.

Suy ra x là số chính phương, do đó (1 - 2sqrt{x} in)Z =>(1 - 2sqrt{x} in)Ư(2)

Do (x geq 0;x neq 1;x in Z) và (1 - 2sqrt{x} in)Ư(2) => x = 0

Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên.

c) Với x = (- 7sqrt[3]{49(5 + 4sqrt{2})(3 + 2sqrt{1 + 2sqrt{2}})(3 - 2sqrt{1 + 2sqrt{2}})})

x = - 7(sqrt[3]{49(5 + 4sqrt{2})(5 - 8sqrt{2})} = sqrt[3]{7^{5}(39 + 20sqrt{2})})

(Rightarrow sqrt{x} = sqrt[6]{7^{5}.(39 + 20sqrt{5)}}).

Vậy A(= frac{2}{1 - 2sqrt[6]{7^{5}.(39 + 20sqrt{5)}}}).

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-

Qua bài viết "Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên", các em học sinh lớp 9 đã được tiếp cận với một trong những dạng toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Việc rèn luyện kỹ năng phân tích biểu thức, tìm điều kiện xác định và xét tính nguyên là bước đệm vững chắc giúp các em làm bài thi hiệu quả.

Hãy thường xuyên luyện tập các bài toán tương tự trong chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 để nâng cao tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Đừng quên kết hợp lý thuyết với thực hành, và tham khảo thêm các đề thi thử, đề thi chính thức các năm trước để củng cố kiến thức. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé! Và đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo trong chuyên mục Toán 9 ôn thi vào lớp 10 để không bỏ lỡ bất kỳ dạng toán quan trọng nào!